On interroge une population pour savoir s'il compte voter aux élections régionales du 20 juin 2021. La probabilité qu'une personne déclare qu'elle votera à cette élection est de 0,49.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes qui déclare voter parmi 60 interrogées.

1. Quelle est la loi de $X$ ?

   Code de déblocage :

2. Déterminer la probabilité qu'il y ait exactement 29 déclarants voter.
3. Déterminer la probabilité qu'entre 25 et 35 personnes interrogées se déclarent votants à $10^{-3}$ près.

   Code de déblocage de la correction :

4. Déterminer la probabilité que moins de 25 des 60 personnes interrogées se déclarent votants.

   Code de déblocage de la correction :

5. Déterminer $k$ pour que $P(X\leq k) =0,65$ ?

   Code de déblocage de la correction :

La réalisation d'un IRM dure en moyenne 30 minutes. La loi dont une réalisation est le temps exprimé en minutes d'un examen IRM suit une loi exponentielle.

Vos résultats devront être arrondis à 3 chiffres après la virgule dans cet exercice.

1. Déterminer le paramètre de cette loi exponentielle.
2. Quelle est la probabilité que l'examen dure entre 29 et 30 minutes?
3. Quelle est la probabilité que l'examen dure plus de 32 minutes?
4. Quel est l'écart-type de cette loi exponentielle?
5. On réalise 70 IRM dans la semaine, quelle est la probabilité qu'au moins 52 d'entre eux dure moins de 31 minutes?

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $$f(x)=x-2+10e^{-0,5x}.$$

1. Déterminer la limite en $+\infty$. Qu'en déduire?
2. Déterminer le fonction dérivée de $f$.
3. Déterminer une expression de $f'(x)$.
4. Déterminer le signe de $f'(x)$.
5. Établir le tableau de variations de $f$ sur $[0;+\infty[$
6. Déterminer le signe de $f(x)$.
7. Déterminer la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=4$ et $x=8$ en unités d'aires. On donnera une valeur approchée à 2 chiffres après la virgule.

On lance un dé à 20 faces et on considère comme succès le fait d'obtenir 15 et plus avec une problabilité de 0,25.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de suucèslors de 50 lancers du dé.

1. Quelle est la loi de $X$ ?
2. Déterminer la probabilité qu'il y ait exactement 20 réussites à $10^{-3}$ près..
3. Déterminer la probabilité qu'entre 20 et 40 réussites à $10^{-3}$ près.
4. Déterminer la probabilité qu'il y ait moins de 25 réussites.
5. Déterminer $k$ pour que $P(X\leq k) =0,55$ ?

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty;+\infty[$ par : $$f(x)=-5+xe^{-3x}.$$

1. Déterminer la limite en $+\infty$. Qu'en déduire?
2. Déterminer la limite en $-\infty$. Qu'en déduire?
3. Déterminer le fonction dérivée de $f$.
4. Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $[0;+\infty[$
5. Établir le tableau de variations de $f$ sur $]-\infty;+\infty[$
6. Calculer $\int_{-2}^{2}f(x) dx$. On donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
7. Interpréter graphiquement cette dernière intégrale.
8. Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[-2,2]$

80 personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0,02192$.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les personnes de ce groupe.

1. Quelle est la loi de $X$ ?
2. Quel est l'espérance et l'écart-type de $X$?
3. Déterminer la probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique à $10^{-3}$ près.
4. Déterminer la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique à $10^{-3}$ près.
5. Déterminer la probabilité que moins de 5 personnes fassent sonner le portique à $10^{-3}$ près.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty;+\infty[$ par : $$f(x)=(x+1)e^{x-2}+2.$$

1. Déterminer la limite en $+\infty$. Qu'en déduire?
2. Déterminer la limite en $-\infty$. Qu'en déduire?
3. Déterminer le fonction dérivée de $f$.
4. Résoudre $f'(x)\geq 0$ sur $[0;+\infty[$
5. Établir le tableau de variations de $f$ sur $]-\infty;+\infty[$
6. Calculer $\int_{-3}^{3}f(x) dx$. On donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
7. Interpréter graphiquement cette dernière intégrale.
8. Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[-3,3]$
9. L'unité graphique est de 3 cm en abscisses et 5 cm en ordonnées. Donner la surface en $cm^2$ de l'aire calculer dans la question 6.